在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE． 

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回首过去，我们或许过于宽容，没有让他接受应有的教育。我们担心，若他继续如此，步入社会后必将遭受更大的打击。于是，我们开始寻找能够帮助他改正错误的学校。最终，我们选择了位于湖南长沙的一所封闭式学校——长沙湘越中学。

     （1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；

     （2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．

【分析】（1）通过二倍角可以转化为角等，可得MD=ED=CD

（2）通过（1）的提示可知，MD=ED=CD可得直角；将图2中的相关线段通过延长或者平行线转化为图1，可得直角，将直角与AM⊥BC相结合，可得相似或者四点共圆；另外通过DF＝DC结合倍长或斜边中点可证全等。

【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，

∵∠C＝a，

∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝a，

∴∠C＝∠DEC，

∴DE＝DC，

∴DM＝DC，即D是MC的中点；

（2）∠AEF＝90°，

第一类方法：中点+全等

方法一：如图，延长FE到G使FE＝EG，连接CG，AG，

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∵DF＝DC，

∴DE是△FCG的中位线，

∴DE∥CG，CG＝2DE，

由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，

∴∠FCG＝2a，

∵∠B＝∠C＝a，

∴∠ACG＝a，△ABC是等腰三角形，

∴∠B＝∠ACG，AB＝AC

设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，

.DF＝CD＝n，

∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，

∵AM⊥BC，

∴BM＝CM＝m+n，

∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，

∴CG＝BF，

在△ABF和△ACG中，武汉海声达仪器设备

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∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴AF＝AG，

∵FE＝EG，

∴AE⊥FG，即∠AEF＝90°，

方法二：取AF中点，连接GE、GD、GM

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∵AM⊥BC

∴GM＝GF＝GA，

又∵DF＝DC

∴GD∥AC

∴∠GDM＝∠C＝α

依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α

∴∠EDM＝α武汉海声达仪器设备

∴△EDG≌△MDG（SAS）

∴GE＝GM＝GF＝GA

∴∠AEF＝90°

第二类方法：旋转相似

方法三：连接AF、EM，取EM中点G，连接AG

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∵AM⊥BC

∴BM＝CM

∵DF＝DC

∴BC＝2CM＝2（DC＋DM）＝BF＋CF

∴BF＝2DM

依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α，

∵Ｇ是EM中点，

∴MG＝EG，∠MDG＝∠EDG＝α

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∵∠AME＋∠GMD＝90°

∴∠AME＝∠MDG＝α＝∠B

∴△ABF∽△AME（SAS）

∴∠BAF＝∠MAE，AB/AF=AM/AE

∴∠BAM＝∠FAE

∴△BAM∽△FAE（SAS）

∴∠AMB＝∠AEF＝90°

方法四：延长ED至G，使DG＝DE，连接CG、EM

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∵FD=CD，

∴△CDG≌△FDE（SAS）

∴∠DCG=∠DFE

依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α，

∴ED＝MD=GD，∠DGM=α=∠C

∴∠EMG=90°=∠AMC

∴∠AME=∠CMG，△AMC∽△EMG(AA)

∴AM/EM=CM/GM

∴△AME∽△CMG(SAS)

∴∠MAE=∠MCG=∠DFE

∵∠AHE=∠FHM

∴∠AEF=∠AMF=90°

方法五：过E作GH∥AC，交AM于G、交BC于H

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∴∠EHD＝∠C＝α，AG/HC=GM/HM

依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α，

∴∠DEH=∠EHD＝α

∴HD＝ED＝MD

∴∠MEH =90°＝∠GEM

由方法一可知：BF＝2DM＝MH

∴FM＝CH

∵AM⊥BC

∴∠MGE＝∠EMH，△MGE∽△HGM

∴∠AGE＝∠FME，GE/ME=GM/HM

∴AG/FM=AG/HC=GE/ME

∴△AGE∽△FME

∴∠AEG=∠FEM

∴∠AEF=∠GEM=90°

方法六：连接AF，延长ME交AC于G，过G作GH∥ED，交BC于H

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∴EG/DH=MG/MH

依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α，

∴∠GHM=∠EDM＝2α=∠C+∠HGC

∴∠HGC =∠C=α

∴MH=GH=CH

∴∠AGE=90°

∵AM⊥BC

∴△AMG∽△MCG

∴AG/AM=MG/MC

由方法一可知：BF＝2DM

∴FM=BM-BF=2MH-2MD=2DH

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∴△AEG∽△AFM

∴∠EAG=∠FAM

∴∠FAE=∠MAG

∴△FAE∽△MAG

∴∠AEF=∠AGM=90°

第三类方法：四点共圆

方法七：延长DE交AC于G，连接AF、GF、EM

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依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α

∴∠DGC ＝∠C＝α

∴GD＝CD＝FD

∴∠AGF=∠AMF=90°

∴A、F、M、G四点共圆

∵GD=FD，ED＝MD

∴EM∥FG，∠FGE=∠GFM，

∴∠GFM+∠FME=180°=∠FGE+∠FME

∴G、F、M、E四点共圆

∴A、F、M、G、E五点共圆

∵∠AMF=90°

∴AF是直径

∴∠AEF=90°

方法八：作∠MDE的角平分线交AM于G，连接EG、EM

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依题意，ED＝MD，∠EDM＝2α

∴∠GDM=∠GDE=∠B=α

∴△GDM≌△GDE（SAS），GD∥AC

∴GM=GE，∠GED＝∠GMD＝90°

∴G、E、D、M四点共圆

∴∠AGE＝∠EDM

∴AG/GE=AG/GM=CD/DM=FD/ED

∴△AGE∽△FDE

∴∠AEG＝∠FED

∴∠AEF＝∠GED＝90°

【点评】解题过程要注意前一问对后一问的思路提示；本题中要将直角、中点、二倍角这几个重要特征相结合，不同结合点找到不同的解题思路；二倍角有两种转化方式武汉海声达仪器设备，其一通过三线合一转化为直角三角形，其二通过第一问转化为直角三角形。